Тема математические модели дискретных систем управления мы редко до конца понимаем, чего действительно хотим

Реферат

Системы, в структуре которых используются контроллеры, микропроцессоры, ЭВМ и прочие цифровые устройства, относятся к категории дискретных систем. Дискретные системы отличаются от непрерывных тем, что среди сигналов, действующих в системе, имеются сигналы, дискретные по своей физической природе или полученные из непрерывных квантованием по уровню, по времени, или одновременно по уровню и по времени. Сигналы, квантованные по уровню, имеют место в релейных системах, квантованные по времени — в импульсных системах. Цифровыми называют системы, в которых действуют сигналы, квантованные и по времени, и по уровню, т.е. в виде цифровых кодов.

Классическим примером дискретных автоматических систем являются системы, использующие в контуре управления цифровые регуляторы. Непрерывный сигнал рассогласования, поступающий на вход регулятора, преобразуется в последовательность импульсов цифрового кода сигнала ошибки. Эта последовательность преобразуется в соответствии с законом регулирования в другую последовательность импульсов, которые цифроаналоговым устройством преобразуются в выходной непрерывный сигнал регулятора.

6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [4].

Основные термины математического моделирования.

компоненты системы

независимые переменные

зависимые переменные

управляемые переменные

эндогенные переменные

экзогенные переменные

Построение моделей.

1) Сформулировать цели изучения системы.

2) Установить наиболее существенные для данной задачи факторы, компоненты и переменные.

3) Учесть тем или иным способом посторонние, не включенные в модель факторы.

4) Осуществить оценку результатов, проверку модели, оценку полноты модели.

Виды моделей.

1) Функциональные модели — выражают прямые зависимости между эндогенными и экзогенными переменными.

2) Модели, выраженные с помощью систем уравнений относительно эндогенных величин.

3) Модели оптимизационного типа. Основная часть модели — система уравнений относительно эндогенных переменных. Цель — найти оптимальное решение для некоторого показателя.

4) Имитационные модели — весьма точное отображение процесса или явления. Математические уравнения при этом могут содержать сложные, нелинейные, стохастические зависимости.

С другой стороны, модели можно делить на управляемые и прогнозные. Управляемые модели отвечают на вопрос: “Что будет, если …?”; “Как достичь желаемого?”, и содержат три группы переменных:

6 стр., 2864 слов

Модели покупательского поведения (2)

... успешной деятельности организации на конкурентном рынке. В данном реферате рассматриваются различные модели покупательского поведения. Каждая модель специфична, применима в зависимости от того на каком ... решений о покупке; частотой совершения покупок; неодинаковым уровнем знаний о товарах; требованиями к послепродажному сервису. Модель это упрощенное представление реальности с включением только ...

1) переменные, характеризующие текущее состояние объекта;

2) управляющие воздействия — переменные, влияющие на изменение этого состояния и поддающиеся целенаправленному выбору;

3) исходные данные и внешние воздействия, т.е. параметры, задаваемые извне, и начальные параметры.

В прогнозных моделях управление не выделено явно. Они отвечают на вопросы: “Что будет, если все останется по-старому?”

Модели можно делить по способу измерения времени на непрерывные и дискретные. В любом случае, если в модели присутствует время, то модель называется динамической. Чаще всего в моделях используется дискретное время, т.к. информация поступает дискретно. Но с формальной точки зрения непрерывная модель может оказаться более простой для изучения.

Имитационные системы

1) формулировка задачи,

2) построение математической модели,

3) составление программы для ЭВМ,

4) оценка пригодности модели,

5) планирование эксперимента,

6) обработка результатов эксперимента.

Математические методы управления можно разделить на несколько групп:

  • методы оптимизации;
  • методы, учитывающие неопределенность, вероятностно-статистические методы;
  • методы построения и анализа имитационных моделей;
  • методы анализа конфликтных ситуаций.

Методология моделирования.

Задача исследований

Выделение перечня задач находится вне математики, он является сутью технического задания, которое специалисты различных областей деятельности дают специалистам по математическому моделированию.

Методологический анализ

Метод исследований

Для решения той или иной задачи в рамках принятой исследователем модели может быть предложено много методов. В настоящее время для решения практически важных задач могут быть использованы современные информационные технологии на основе метода статистических испытаний и соответствующих датчиков псевдослучайных чисел. Они уже заметно потеснили асимптотические методы математической статистики.

Условия применимости

6.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ ДИСКРЕТНОГО УПРАВЛЕНИЯ [1, 11, 12]

Дискретно представляемые сигналы описываются функциями дискретной переменной. Для описания дискретных систем используются решетчатые функции и разностные уравнения. Решетчатые функции являются аналогами непрерывных функций, описывающих непрерывные системы, а разностные уравнения являются аналогами дифференциальных уравнений.

Решетчатой функцией

Отсчеты по шкале времени удобно вести в целочисленных единицах периода квантования Т. С этой целью вместо переменной t непрерывной функции введем новую переменную t=t/T, при этом непрерывной функции x(t) будет соответствовать решетчатая функция х(k) º x k .

Теорема Котельникова-Шеннона.

x(kT) = x(t)| t=kT ,

и не определена между отсчетами k. Потери информации при квантовании зависят от величины интервала квантования Т (частоты квантования 2p/T).

5 стр., 2143 слов

Функции и методы философии

... философского знания; философию как форму самосознания культуры. 1. Смысл, основное содержание, функции и методы философии Доминирующее первое мнение о философии определяет ее как специфический вид познания. Этот взгляд ... ценностями-условиями - укоренен в подобном мире. Второе основоположение касается теории познания Ницше и выводимо из первого. Если значения реальности-для-нас формируются условиями ...

Выбор интервала Т обычно осуществляется из соображений теоретической возможности точного восстановления исходного сигнала по данной дискретной выборке. Согласно теореме Котельникова-Шеннона, если спектр сигнала x(t) ограничен максимальной частотой w max , то точное восстановление функции x(t) теоретически возможно при условии, что на одном периоде максимальной частоты в сигнале имеется минимум два дискретных отсчета, т.е. частота квантования w должна быть более чем в 2 раза больше наибольшей частоты wmax в сигнале:

w ≥ 2w max , T < p/wmax .

Разностные уравнения.

Разностью первого порядка

Dx(k) = x(k+1) – x(k).

Разность первого порядка характеризует скорость изменения решетчатой функции и, следовательно, является аналогом первой производной непрерывной функции.

Разность второго порядка

D 2 x(k) = Dx(k+1) — Dx(k) = [x(k+2)-x(k+1)] – [x(k+1)-x(k)] = x(k+2) — 2x(k+1) + x(k).

Разности любого m-го порядка

D m x(k) = Dm-1 x(k+1) — Dm-1 x(k).

D m x(k) = математическое описание систем дискретного управления  1(-1)n x(k+m-n) m!/[k!(m-n)!].

Дискретизация автономных систем.

C использованием разностных уравнений математическое описание линейных импульсных систем приводится к виду:

a m Dm x(k) + am-1 Dm-1 x(k) +…+ a0 x(k) = 0. (6.2.1)

где уравнение (6.2.1) является линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами а m (m=0, 1, 2,…), — аналог однородного линейного дифференциального уравнения при описании непрерывных динамических систем. Решение (6.2.1) дает значение дискретной переменной х(k) для каждого периода квантования.

Уравнение (6.2.1) можно записать в виде:

 математическое описание систем дискретного управления  2 cn x(k+n) = 0. (6.2.2)

Таким образом, в дискретной системе (6.2.1) процессы в квантованные моменты времени t-kT точно совпадают с процессами в исходной непрерывной системе. Так как решения дискретной системы в промежуточные моменты времени не определены, то корректный переход к дискретной форме предусматривает выбор интервала квантования Т в соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона.

Дискретное z-преобразование.

Преобразование Лапласа для непрерывной функции х(t):

X(р) = математическое описание систем дискретного управления  3 x(t) exp(-pt) dt. (6.2.3)

При переходе к дискретной функции x(kТ), заменяя интегрирование суммированием:

X(p) =T математическое описание систем дискретного управления  4 x(kT) exp(-pkT).

(6.2.4)

Введем новую переменную z=exp(pt):

X(z) =T математическое описание систем дискретного управления  5 x(kT) zk . (6.2.5)

Это уравнение представляет собой дискретное преобразование Лапласа, в котором выражение

X(z) = математическое описание систем дискретного управления  6 x(kT) zk . (6.2.6)

называется z-преобразованием. Оно лежит в основе метода решения разностных уравнений. Дискретное преобразование Лапласа X(z) отличается от z-преобразования наличием нормирующего множителя Т. При анализе дискретных систем z-преобразование позволяет перейти от разностных уравнений к алгебраическим и существенно упростить анализ динамики дискретных систем.

В выражении (6.2.6) функция х(kТ) называется оригиналом решетчатой функции, a X(z) – ее изображением. Для обратного перехода от изображения к оригиналу (для нахождения исходной решетчатой функции по ее изображению) используется обратное z-преобразование:

x(kT) = (1/2pj) ∮ X(z) z k-1 dz.

Корни p i характеристического полинома непрерывной системы связаны с корнями zi характеристического полинома эквивалентной дискретной системы соотношением

z i = exp(Tpi ).

(6.2.7)

В общем случае, отображение (6.2.7) неоднозначно, и нескольким различным значениям p i может соответствовать одно и то же значение zi . Взаимно-однозначное соответствие корней непрерывной и эквивалентной дискретной систем выполняется только при интервале дискретизации, удовлетворяющем теореме Котельникова-Шеннона.

Преобразование непрерывного сигнала в цифровой код

 математическое описание систем дискретного управления  7

Рис. 6.2.1.

Процесс квантования решетчатой функции х(t k ) по уровню можно представить как прохождение сигнала х(tk ) через нелинейный элемент с многоступенчатой релейной характеристикой — квантователь по уровню КУ (рис. 6.2.1).

В результате квантования по уровню точно измеренные значения сигнала х(tk ) заменяются приближенными ближайшими дискретными значениями хk º x(k) @ x(tk ).

Шаг квантования dk , характеризует точность преобразователя.

Учет квантования по уровню приводит к необходимости рассмотрения нелинейных цифровых систем. Анализ систем упрощается, если элемент с многоступенчатой релейной характеристикой представить в виде параллельного соединения линейного усилительного элемента с коэффициентом K = 1, характеристика которого изображена на рис.6.2.1 справа, и нелинейного элемента с характеристикой d(k), равной разности между линейной и релейной характеристиками. В этом случае квантованный по уровню сигнал можно представить, как сумму точного сигнала х(t k ) и добавочного сигнала d(k), ограниченного по величине половиной ступени квантования:

Прежде чем сигнал х(k) поступает на цифровое вычислительное устройство (ЦВУ) системы, осуществляется его кодирование — преобразование в цифровой код х ц (k).

Если в ЦВУ используется двоичная система счисления, то с помощью кодирующего устройства К каждый импульс, поступающий с квантователя по уровню, преобразуется в двоичный цифровой код, соответствующий амплитуде этого импульса. Двоичные числа представляются в виде последовательности импульсов, разделенных интервалом времени t. Каждому разряду двоичного числа отводится интервал времени t’ на выставление кодов 0 или 1 (обычно отсутствие или наличие определенного уровня напряжения).

На ЦВУ числа могут поступать последовательным или параллельным кодом. В первом случае разряды числа идут последовательно друг за другом по одному каналу, как правило, начиная с младшего. Одно число от другого отделяется специальным маркерным импульсом. Минимальный интервал Т передачи числа равен nt, где n — количество разрядов числа. При параллельном коде все разряды числа поступают одновременно по нескольким каналам, число которых равно числу разрядов. Так как при кодировании сигнала не происходит изменения информации, то передаточная функция кодирующего устройства равна единице.

Цифровое вычислительное устройство

y(kDt) = TL{x(kDt)}.

Это выражение отображает краткую запись линейного разностного уравнения:

 математическое описание систем дискретного управления  8 am y(kDt-mDt) = математическое описание систем дискретного управления  9bn x(kDt-nDt), (6.2.8)

где a m и bn — вещественные или, в общем случае, комплексные коэффициенты. Выполним нормировку уравнения (6.2.8) к a0 = 1, и, принимая в дальнейшем Dt = 1, приведем его к виду:

y(k) =  математическое описание систем дискретного управления  10 bn x(k-n) – математическое описание систем дискретного управления  11am y(k-m).

(6.2.9)

 математическое описание систем дискретного управления  12

Рис. 6.2.2. Рекурсивный ЦФ.

ЦВУ, которые описываются полным разностным уравнением (6.2.9), принято называть рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ), так как в вычислении текущих выходных значений участвуют не только входные данные, но и значения выходных данных фильтрации, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. С учетом последнего фактора рекурсивные фильтры называют также фильтрами с обратной связью, положительной или отрицательной в зависимости от знака суммы коэффициентов a m . По существу, полное окно рекурсивного фильтра состоит из двух составляющих: нерекурсивной части bn , ограниченной в работе текущими и «прошлыми» значениями входного сигнала, и рекурсивной части am , которая работает только с «прошлыми» значениями выходного сигнала. Техника вычислений для РЦФ приведена на рис. 6.2.2.

Передаточные функции ЦВУ.

Y(z) математическое описание систем дискретного управления  13 am z-m = X(z) математическое описание систем дискретного управления  14bn z-n , (6.2.10)

где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a o = 1, получаем в общей форме функцию связи выхода фильтра с его входом — уравнение передаточной функции системы в z-области:

H(z) = Y(z)/X(z) = математическое описание систем дискретного управления  15 bn z-n (1+ математическое описание систем дискретного управления  16am z-m ).

(6.2.11)

Для нерекурсивных ЦВУ, при нулевых коэффициентах a m :

H(z) = математическое описание систем дискретного управления  17 bn z-n . (6.2.12)

При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(ω), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. В общей форме для выходных сигналов фильтра:

Y(z) = H(z)·X(z).

Y(z)·(1+ математическое описание систем дискретного управления  18 am z-m ) = X(z) математическое описание систем дискретного управления  19bn z-n

Y(z) = X(z) математическое описание систем дискретного управления  20 bn z-n – Y(z) математическое описание систем дискретного управления  21am z-m . (6.2.13)

После обратного Z-преобразования выражения (6.2.13):

y(k) = математическое описание систем дискретного управления  22 bn x(k-n) – математическое описание систем дискретного управления  23am y(k-m).

(6.2.14)

При подаче на вход фильтра единичного импульса Кронекера d о , имеющего z-образ d(z)=z-n = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y(k) ≡ h(k), при этом:

H(z) = Y(z)/d(z) = Y(z) = TZ[y(k)] = математическое описание систем дискретного управления  24 h(k) z-k , (6.2.15)

т.е. передаточная функция фильтра является z-образом ее импульсной реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции соответственно получаем импульсную характеристику фильтра:

h(k) — H(z).

(6.2.16)

Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, то обратное z-преобразование осуществляется элементарно идентификацией коэффициентов по степеням z. Передаточная функция также может быть представлена степенным полиномом прямым делением числителя на знаменатель правой части выражения (6.2.11), однако результат при этом может оказаться как конечным, так и бесконечным, т.е. система может иметь либо конечную, либо бесконечную импульсную характеристику. Практически используемые рекурсивные фильтры обычно имеют бесконечную импульсную характеристику (БИХ-фильтры) при конечном числе членов алгоритма фильтрации (6.2.14).

Система устойчива, если при любых начальных условиях ее реакция на любое ограниченное воздействие также ограничена. Критерием устойчивости является абсолютная сходимость отсчетов импульсного отклика системы:

 математическое описание систем дискретного управления  25 |h(n)| < ¥. (6.2.17)

Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) на и вне единичного круга на z-плоскости. Отсюда необходимое и достаточное условие устойчивости импульсных систем — модули корней передаточной функции (6.2.11) должны быть меньше 1 (полюса передаточной функции системы внутри единичного круга на z-плоскости).

Чем меньше значения модулей корней, тем больше запас устойчивости системы.

Частотные характеристики ЦВУ.

Передаточная частотная функция (частотная характеристика при а о =1):

H(w) = A(w)/B(w) = математическое описание систем дискретного управления  26 bn exp(-jwnDt)[1+ математическое описание систем дискретного управления  27am exp(-jwmDt)]. (6.2.18)

Частотная характеристика системы представляет собой Фурье-образ его импульсной реакции, и наоборот. При Dt = 1:

H(w) = математическое описание систем дискретного управления  28 h(n) exp(-jwn), (6.2.19)

h(n) = (1/2p) математическое описание систем дискретного управления  29 H(w) exp(jwn) dw. (6.2.20)

В общем случае H(w) является комплексной функцией, модуль которой R(w) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент j(w) – фазово-частотной характеристикой (ФЧХ).

A(w) = |H(w)| = математическое описание систем дискретного управления  30

j(w) = arctg(-Im H(w)/Re H(w)).

Выбор знака фазового угла ориентирован на каузальные системы с отрицательным временным запаздыванием сигналов. Допустим, что система осуществляет только сдвиг сигнала x(t) вправо по временной оси, т е. y(t) = x(t-t).

Для преобразования Фурье функции y(t) имеем:

Y(f) = математическое описание систем дискретного управления  31 y(t) exp(-j2pft) dt = математическое описание систем дискретного управления  32x(t-t) exp(-j2pft) dt =

= exp(-j2pft) математическое описание систем дискретного управления  33 x(t) exp(-j2pft) dt = exp(-j2pft) X(f).

Отсюда:

H(f) = Y(f)/X(f) = exp(-j2pft), |H(f)| = 1, j h (f) = -2pft.

Из последнего равенства следует, что фаза представляет собой прямую с отрицательным тангенсом угла наклона -2pft. Соответственно, для всех каузальных фильтров, осуществляющих преобразование с определенной задержкой сигнала на выходе, при выполнении операции над частотными составляющими сигнала имеет место:

Y(f) = H(f) X(f) = |H(f)| exp(jj h (f)) |X(f)| exp(jjx (f)) = |H(f)| |X(f)| exp{j [jh (f)+jx (f)]},

|Y(f)| = |H(f)| |X(f)|, j y (f) = jh (f)+jx (f).

C учетом отрицательного знака j h (f) фазовой характеристики каузальных фильтров это вызывает сдвиг в «минус» всех частотных составляющих сигнала и соответствующую задержку выходного сигнала относительно входного.

6.3. МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ [1, 2]

Математические модели дискретных систем

{u(t k )}, {y(tk )}, {х(tk )}.

Математические модели дискретных систем устанавливают взаимосвязь между этими последовательностями.

Практически все объекты и процессы управления имеют непрерывный характер своего состояния и динамики развития во времени. Поэтому дискретные автоматические системы управления содержат в своей структуре как цифровую (дискретную), так и аналоговую (непрерывную) части. Для согласования этих частей в системе используются аналогово-цифровые и цифроаналоговые преобразователи (АЦП и ЦАП).

АЦП ставит в соответствие непрерывной функции f(t), t ≥ t 0 последовательность {f(tk )}=f(kDt), Dt=const, k = 0, 1, 2,…. В свою очередь, ЦАП осуществляет преобразование последовательности {fk , k = 0, 1, 2, …} в некоторую непрерывную функцию, которая является аппроксимацией исходной функции f(t), t ≥ t0 . Часто используют кусочно-постоянную аппроксимацию, поэтому такой преобразователь называют экстраполятором, или фиксатором нулевого порядка.

Построение дискретного представления непрерывной системы

А 0 y(n) (t) + А1 y(n-1) (t) + А2 y(n-2) (t) + … + Аn y(t) = u(t).

(6.3.1)

При достаточно малом шаге квантования дискретизацию этой модели можно выполнить с необходимой точностью путем замены дифференциалов конечными разностями:

y'(t) = dy(t k )/dt = Dy(tk )/Dt = Dt-1 (y(tk+1 ) – y(tk )),

y»(t) = d 2 y(tk )/d2 t = D2 y(tk )/D2 t = Dt-1 (Dy(tk+1 ) – Dy(tk )) = Dt-2 (y(tk+2 ) – 2y(tk+1 ) + y(tk )),

… и т.д.

После подстановки в (6.3.1) дискретная внешняя модель системы принимает конечно-разностный вид, который после алгебраических преобразований переводится в рекуррентную форму с постоянными коэффициентами модели a i :

a 0 y(k+n) + a1 y(k+n-1) + a2 y(k+n-2) + … + an y(k) = u(k), (6.3.2)

В общем случае функция u(k) также может представлять собой полином:

a 0 y(k+n) + a1 y(k+n-1) +…+ an y(k) = b1 u(k+n-1) +…+ bn u(k).

(6.3.3)

Движение дискретной модели, представленной в разностном виде, складывается из двух движений: собственного и вынужденного под действием внешнего возмущения. Собственное движение — решение однородного разностного уравнения системы. Общий вид этого решения определяется как линейная форма от собственных чисел системы:

y(k) = C 1 l1k + C2 l2k + … + Cn lnk , (6.3.4)

где С i — коэффициенты линейной формы, которые вычисляются через начальные состояния системы; li — простые действительные корни характеристического уравнения системы:

a 0 ln + a1 ln-1 + a2 ln-2 + … + an = 0. (6.3.5)

Пример. Непрерывная система описывается дифференциальным уравнением:

  • y»(t) + 5у'(t) + 6у(t) = u(t);
  • у(0) = 1 ;
  • у'(0) = 0,5.

Выполним с шагом квантования Dt = 0,1 разностную дискретизацию уравнения:

100(у(k+2) – 2y(k+1) + y(k)) + 50(y(k+1) – y(k)) + 6y(k) = u(k).

После преобразований получим искомую дискретную модель в рекуррентном виде:

у(k+2) – 1.5 у(k+1) + 0,56 у(k) = 0,01 u(k).

Характеристическое уравнение системы:

l 2 — 1.5 l + 0.56 = 0.

Корни уравнения: l 1 = 0.8, l2 = 0.7. Соответственно, собственное движение модели:

у(k) = С 0 0.8k + C1 0.7k .

Постоянные С 0 , С1 найдем, используя координаты начального состояния системы:

у(0) =С 0 + С1 = 1; у(1) = C0 0.8 + C1 0.7.

Значение у(1) определим, используя первую разность:

у'(0) = 10 (y(1)-y(0)) = 0.5. y(1) = 1.05

Отсюда: С 0 = 3.5, С1 = -2.5. y(k) = 3.5 0.8k – 2.5 0.7k .

Операторная форма модели

z i y(k) = y(k+i).

(6.3.6)

При этом уравнение (6.3.3) легко преобразуется к виду

a(z) y(k) = b(z) u(k), (6.3.7)

a(z) = z n + a1 zn-1 + … + an-1 z + an , (6.3.8)

b(z) = b 1 zn-1 + … + bn-1 z + bn . (6.3.9)

Оператор a(z) называется характеристическим полиномом системы (6.3.3), а комплексные числа z i , i = (1, n) — корни характеристического уравнения a(z)=0, называются полюсами системы. Корни алгебраического уравнения b(z) = 0 называются нулями системы.

Из выражения (6.3.7) следует операторное уравнение связи переменных y(k) и u(k) и оператор передаточной функции дискретной системы:

y(k) = W(z)u(k), (6.3.10)

W(z) = b(z)/a(z).

(6.3.11)

Возмущающее воздействие f(k) влияния на объект управления внешней среды рассматривается как дополнительный входной сигнал, при этом линейная модель дискретной системы принимает вид:

a 0 y(k+n) + a1 y(k+n-1) +…+ an y(k) =

= b 1 u(k+n-1) +…+ bn u(k) + d1 f(k+n-1) +…+ dn f(k).

(6.3.12)

где d i — коэффициенты, определяющие влияние на процессы в системе возмущения f(k).

После соответствующих преобразований получаем операторную форму модели (6.3.12):

a(z) y(k) = b(z) u(k) + d(z) f(k).

(6.3.13)

d(z) = d 1 zn-1 + … + dn-1 z + dn . (6.3.14)

y(k) = W(z)u(k) + W f (z) f(k), (6.3.15)

W f (z) = d(z)/a(z).

(6.3.16)

W f (z) — передаточная функция системы по возмущающему воздействию f(k).

Решение разностных уравнений.

y(k) = -a 1 y(k-l) -…- an y(k) + b1 u(k-l) + b2 u(k-2) + … + bn u(0).

(6.3.17)

В общем случае, аналитическое решение уравнения (6.3.3):

y(k) = y св (k) + yв (k).

(6.3.18)

Выражение содержит вынужденную составляющую y в (k), соответствующую реакции системы на входное воздействие u(k), и свободную составляющую yсв (k), соответствующую решениям однородного разностного уравнения (автономной дискретной системы):

a 0 y(k+n) + a1 y(k+n-1) +…+ an y(k) = 0 (6.3.19)

при начальных условиях y(0), у(-1), . . . , у(-n+1).

Поведение системы и свободная составляющая переходного процесса зависят от полюсов системы z i , которые в общем случае представлены комплексно-сопряженными парами:

z i,i+1 = ai ∓ jbi , zi,i+1 = Mi exp(∓ jji ), Mi =| zi,i+1 |, ji = arg zi,i+1 . (6.3.20)

y св (k) = C1 z1k + C2 z2k + … + Cn znk , (6.3.21)

где C i — неопределенные коэффициенты, зависящие от начальных условий.

Вещественному неотрицательному корню, для которого a i > 0, bi = 0, a ji = 0, соответствует апериодическая составляющая переходного процесса (мода) y(k) = Ci Mik , а вещественному отрицательному корню, для которого ai < 0, bi = 0, a ji = p, — колебательная мода y(k) = Ci Mik cos kp.

Парам комплексно-сопряженных корней характеристического полинома z i,i+1 = ai ∓ jbi , соответствуют колебательные составляющие

y i,i+1 = Ai Mik cos (kji -ji ),

где A i , ji — параметры, зависящие от начальных условий. Если при некоторых начальных значениях имеет место тождество

y (k) = y* = const, k ≥ 0,

то значение у = у* называется положением равновесия системы.

Вынужденная составляющая переходного процесса определяется входным воздействием u(k).

Наиболее распространенными входными сигналами дискретных систем являются единичная импульсная последовательность и дельта-функция Кронекера.

Установившийся режим.

y y = (b1 +…+bn )u(k) /(1+a1 +…+ an ) = Ku, (6.3.22)

где K — статический коэффициент. Условием существования статической характеристики является 1+a 1 +…+ an ≠ 0. Система, удовлетворяющая этому условию, называется статической.

Сопоставляя (6.3.22) и (6.3.10), найдем

(b 1 +…+bn ) /(1+a1 +…+ an ) = W(1) = b(1)/a(1).

Следовательно, W(1) = K, и в статическом режиме система описывается уравнением:

у у = W(1)u.

Элементарные звенья дискретных систем.

|z i | = |li {A}| ≤ 1. (6.3.23)

Элементарные звенья 1-го порядка

y(k+1) + ay(k) = bu(k).

(6.3.24)

Передаточная функция звена и полюс:

W(z) = b/(z+a), z 1 = -a. (6.3.25)

Решение уравнения (6.3.24):

y(k) = y cв (k) + yв (k) = (-a)k y0 + bЭлементарные звенья го порядка 1(-a)k-i-1 u(i).

(6.3.26)

При b = 1 и a = 0 получаем звено чистого запаздывания (элемент задержки):

y(k+1) = u(k), W(z) = 1/z. (6.3.27)

При а = -1 получаем суммирующее звено (дискретный интегратор):

y(k+1) = y(k) + bu(k), W(z) = b/(z-1).

(6.3.28)

Уравнение является дискретным аналогом интегрирующего звена и имеет решение

y(k) = y(0) + bЭлементарные звенья го порядка 2 u(i).

(6.3.29)

Проанализируем свободные составляющие переходных процессов звеньев первого порядка для различных значений параметра а (различных значений полюсов z i = -a).

Для этого рассмотрим автономную систему

y(k+1) + ay(k) = 0, y 0 = y(0).

(6.3.30)

Решение уравнения:

y(k) = (-a) k y0 , (6.3.31)

Элементарные звенья го порядка 3

Рис. 6.3.1.

Различные реализации функции при y 0 = 1 приведены на рис. 6.3.1.

При z 1 = a = 0 получаем y(k) = 0, k>0, т. е. из произвольного начального положения у0 процесс сходится к нулевому (равновесному состоянию) за один шаг.

При z 1 = -а ∈ (0,1) имеем (-a)k →0 при k→∞, и получаем апериодический затухающий процесс: y(k) →0. Звено асимптотически устойчиво.

При z = -а = 1 (суммирующее звено) находим y(k) = y 0 , k > 0. Звено нейтрально устойчиво.

Наконец, если z 1 = -а > 1, то при k→ ∞, (-a)k → ∞, и получаем апериодический расходящийся процесс: |y(k)| → ∞. Звено неустойчиво.

При отрицательных значениях z 1 = -а переходные процессы приобретают колебательный характер. При z1 = -а ∈ (-1,0) получаем (-a)k →0 при k → ∞, и затухающий колебательный процесс: y(k) → 0. Звено асимптотически устойчиво.

При z 1 = -а = -1, y(k) = ∓ y0 , k > 0, получаем незатухающий колебательный процесс. Звено нейтрально устойчиво.

Наконец, при z 1 = -а < -1 находим, что при k → ∞, |(-a)k | → ∞, и получаем расходящийся (неустойчивый) колебательный процесс: |y(k)| → ∞.

Элементарные звенья 2-го порядка.

Колебательное звено описывается уравнением

y(k +2) — 2M y(k+1) cos j + M 2 y(k) = b u(k) sin j, (6.3.32)

где M ∈ (0,1), j ∈ (0, p/2).

Передаточная функция и комплексно-сопряженные полюсы:

W(z) = b sin j /(z 2 — 2М z cos j + М2 ), z1,2 = M exp(∓jj).

(6.3.33)

Звено асимптотически устойчиво и имеет статическую характеристику

y = b sin j /(1 — 2М cos j + М 2 ).

(6.3.34)

Консервативное звено (дискретный осциллятор) описывается уравнением

y(k +2) — 2 y(k+1) cos j + y(k) = b u(k) sin j, (6.3.35)

где j ϵ (0, p/2).

Передаточная функция и полюсы

W(z) = b sin j /(z 2 — 2 z cos j + 12 ), z1,2 = exp(∓jj).

(6.3.36)

Звено нейтрально устойчиво и не имеет статической характеристики.

Рассмотрим свободные составляющие переходных процессов звеньев второго порядка для различных значений параметра М. Уравнение автономной системы

y(k +2) — 2M y(k+1) cos j + M 2 y(k) = 0, (6.3.37)

с начальными значениями y(0) = 1 и у(-1) = М -1 cos j.

Элементарные звенья го порядка  1

Рис. 6.3.2.

Решения уравнения имеют вид

y(k) = M k cos jk. (6.3.38)

Переходные процессы системы представлены на рис. 6.3.2. Если j < p/2, то полюсы системы имеют положительные вещественные части: Re z 1,2 > 0. При М ϵ (0,1) (колебательное звено) получаем сходящиеся колебательные процессы, при М = 1 (осциллятор) — незатухающий колебательный процесс, а при М > 1 — расходящиеся колебательные процессы.

Аналогично ведут себя и системы, для которых p/2 < j < p, что соответствует отрицательным вещественным полюсам: Re z 1,2 < 0. Основным отличием таких систем является двухчастотный колебательный режим, вызванный переключением знака выходной переменной на каждом шаге k.

Устойчивость дискретных систем.

Автономная система описывается уравнениями

a(z)y(k) = 0, a(z) = z n + al zn-1 + … + an , yy = y* = 0. (6.3.39)

Понятия устойчивости линейных дискретных систем практически полностью идентичны соответствующим понятиям непрерывных систем. Критерии устойчивости дискретных систем легко выводятся из соответствующих положений непрерывной теории, если принять во внимание, что полюсы z i дискретной системы связаны с полюсами pi эквивалентной непрерывной модели соотношением zi = ехр(Трi ).

Поэтому ограничимся рассмотрением только свойства асимптотической устойчивости.

Устойчивость по выходу (техническая устойчивость) определяется характером изменения выходной переменной y(k), т. е. свойствами решений системы (6.3.39).

Система называется асимптотически устойчивой, если выполняется условие

Элементарные звенья го порядка  2 = 0.

Основной метод исследования устойчивости дискретных системы предусматривает использование корневых критериев. Дискретная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех корней (полюсов) характеристического уравнения системы меньше 1, т.е. |z i |<1, i=(1,n).

Другими словами, полюсы системы на комплексной плоскости должны находиться внутри круга единичного радиуса, при этом окружность единичного радиуса является границей устойчивости. Наличие хотя бы одного корня вне единичного круга делает дискретную систему неустойчивой. Появление одного вещественного или пары двух комплексно-сопряженных корней на единичной окружности при условии расположения остальных корней внутри круга говорит о нейтральной устойчивости дискретной системы (устойчивости по Ляпунову).

Качество дискретных систем управления.

Динамические показатели качества характеризует поведение свободных составляющих переходного процесса замкнутой системы управления, либо процессов автономной системы. Последние рассматриваются как решения скалярного разностного уравнения (6.3.39).

Естественно, что рассматриваются только устойчивые системы.

Динамические показатели качества дискретных систем определяются аналогично показателям систем непрерывного времени и могут быть найдены с использованием тех же подходов при условии выполнения теоремы Котельникова-Шеннона для выбора интервала квантования Т при переходе к дискретной форме описания системы.

Скорость протекания дискретных процессов определяется значениями модулей полюсов системы |z i | = exp(-ai T).

Значения |zi | уменьшаются с увеличением модулей вещественных частей полюсов непрерывной системы aI , что равносильно увеличению быстродействия, т. е. уменьшению времени переходного процесса tпп . Это служит основанием для введения (по аналогии с непрерывными системами) понятия степени устойчивости дискретной системы как радиуса распределения ее полюсов на комплексной плоскости.

Степенью устойчивости дискретной системы называется положительное число

h = max |z i |, i = (1, n).

Cкорость протекания процессов возрастает при приближении полюсов к началу координат комплексной плоскости. Грубая оценка времени переходных процессов дискретной системы по степени устойчивости h (только по самой медленной составляющей переходного процесса) выполняется по формуле:

t пп ≈ 3T/ln h.

литература

[Электронный ресурс]//URL: https://psystars.ru/referat/modeli-s-diskretnyimi-zavisimyimi-peremennyimi/

1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы: Учебное пособие для вузов. — СПб.: Питер, 2005. — 336 с.

2. Повзнер Л.Д. Теория систем управления: Учебное пособие для вузов. — М.: Изд. МГГУ, 2002. — 472 с.

4. Орлов А.И. Менеджмент: Учебник. – М.: «Изумруд», 2003. URL: http://www.aup.ru/books/m151/

11. Михайлов В.С. Теория управления. – К.: Выща школа, 1988.

12. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. – К.: Выща школа, 1989.

Главный сайт автора ~ Лекции по ОТУ

О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.

Copyright ©2008-2009 Davydov А.V.