Конформные отображения

Реферат

^

Пусть в плоскости z дана некоторая точка z0 и через эту точку проведены линии γ1 и γ2, причем каждая из них имеет в точке z0 определенную касательную.

Функция w=f(z), которую мы будем предполагать аналитической в некоторой области, содержащей точку z0, отображает точку z0 плоскости z в некоторую точку w0=f(z0) плоскости w, линии γ1 и γ2, проходящей через точку z0, отображаются на линии Г1 и Г2, проходящей через точку w0 (рис.1).

Возьмем на линии γ1 произвольную точку z0+∆z, которая отобразится на некоторую точку w0+∆w линии Г1.

Рис 1.

Комплексное число ∆z изобразится при этом вектором, идущим из точки z0 в точку z0+∆z, а число ∆w с помощью вектора, идущего из точки w0 в точку w0+∆w.

Так как функция w=f(z) является аналитической в точке z0, то предел, к которому стремится отношение ∆w∆z при ∆z→0, не зависит от закона стремления ∆z к нулю так, чтобы точка z0+∆z осталась на кривой γ1 (т.е. будем перемещать точку z0+∆z к точке z0 по кривой γ1); тогда ∆w будет стремится к нулю так, что точка w0+∆w будет перемещаться по кривой Г1 (рис.1).

Из существования предела

lim∆z→0∆w∆z=f'(z)

Следует существование предела

lim∆z→0∆w∆z=f'(z0), (1)

А также, если f'(z0)≠0, и предела

lim∆z→0Arg∆w∆z=Argf'(z0) (2)

С другой стороны,

Arg∆w∆z=Arg∆w-Arg∆z

где Arg∆z и Arg∆w — углы, образованные векторами, изображающими числа ∆z и ∆w с положительными направлениями соответствующих положительных осей. При выбранном нами способе предельного перехода эти векторы направлены по хордам кривых γ1 и Г1 (рис.1) и пределы величин Arg∆z и Arg∆w при ∆z→0 равны соответственно углам φ1 и Ф1 между касательными к кривым γ1 и Г1 в точках z0 и w0 и положительными направлениями соответствующих действительных осей.

Следовательно,

Argf’z0=Ф1-φ1 (3)

Повторим те же рассуждения для случая, когда z0+∆z стремится к точке z0 по кривой γ2, и принимая во внимание, что величина Argf'(z0), определенная равенством (2), не зависит от закона, по которому ∆z→0, получим:

Argf’z0=Ф2-φ2 (4)

где φ2 и Ф2 — соответственно углы между касательными к кривым γ2 и Г2 в точках z0 и w0 и положительным направлением осей Ox и Ou.

12 стр., 5804 слов

По курсу Философия. : «Экологические проблемы с точки зрения философов»

... и социально-политических решений, с вечно философской проблемой взаимоотношений человека и природы? Философское поле анализа простирается от ... масштабно, как в наше время. Интерес к проблемам экологии глубоко мотивирован всем ходом современной научно-технической ... эмоциональную нравственную сферу? « Расстыкованность » разных осей социального прогресса приводит к поистине кризисной ситуации. ...

Из (3) и (4) получим:

Ф1-φ1=Ф2-φ2

или

Ф2-Ф1=φ2-φ1 (5)

угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке, в

которой производная отображающей функции отлична от нуля, сохраняется как по величине, так и по направлению отсчета (свойство постоянства углов).

Выясним геометрический смысл производной.

Равенства (3) и (4) показывают, что если совместить плоскость z с плоскостью w так, чтобы точка z0 совпадала с точкой w0, а ось Ox была направлена параллельно оси Ou, причем положительные направления осей совпали бы, то угол, на который после этого нужно повернуть вокруг точки z0 плоскость z для того, чтобы касательная к кривой γ1 (или γ2) совпало с касательной к отображенной кривой Г1 (соответственно Г2), равен Argf'(z0), — таков геометрический смысл аргумента производной отображающей функции.

Для выяснения геометрического смысла модуля производной заметим, что ∆z является расстоянием от точки z0, до точки z0+∆z, а ∆w — расстояние между точками w0 и w0+∆w и, следовательно, величина ∆w∆z указывает, в каком отношении в результате отображения изменяется расстояние между этими точками. Величину f'(x0), являющуюся пределом отношения ∆w∆z при ∆z→0, естественно называть коэффициентом растяжения в точке z0 при отображении с помощью функции w=f(z).

Если f’z0>1, то достаточно малой окрестности точки z0 расстояния между точками при отображении увеличиваются и происходит растяжение; если f’z0<1, то отображение в окрестности точки z0 приводит к сжатию.

коэффициент растяжения в данной точке постоянен

конформным

Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которой производная этой функции отлична от нуля. Можно доказать и обратное утверждение: если отображение, осуществляемое функцией fz, конформно в области D, то функция fz является аналитической в области D.

конформным отображением второго рода

В дальнейшем, говоря о конформном отображении, мы будем иметь в виду лишь конформное отображение первого рода.

^

Любая односвязная область D, граница которой содержит более одной точки, изоморфна единичному кругу U.

Доказательство:

  1. Докажем, что в D существует хотя бы одна голоморфная и однолистная функция, ограниченная 1 по модулю. По условию граница ∂D содержит две различные точки α и β; корень квадратный z-αz-β продолжается аналитически вдоль любого пути области D, и так как D односвязна, то по теореме о монодромии этот корень допускает выделение в D двух однозначных ветвей φ1 и φ2, отличающихся знаком.

Каждая из этих ветвей однолистна в D, ибо из равенства φvz1=φvz2 (v=1 или 2) следует равенство

z1-αz1-β=z2-αz2-β (6)

А из него в силу однолистности дробно-линейной функции, — равенство z1=z2. Эти ветви отображают D соответственно на области D1*=φ1D и D2*=φ2D, которые не имеют общих точек, ибо в противном случае нашлись бы точки z1,z2∈D такие, что φ1z1=φ2z2, но из последнего равенства следует (6), а из него – равенство z1=z2, т.е. φ1z1=-φ2z2; мы пришли к противоречию, ибо φv≠0 в D.

8 стр., 3763 слов

Общие принципы регуляции функций Механизмы регуляции функций

... функции подавляет механизмы регуляции, усиливающие эту функцию. Механизмы регуляции функций организма подразделяются на нервные и гуморальные. Нервная регуляция функций. Главная роль в интеграции функций организма принадлежит нервной ... ответных реакций на изменения в среде существования, нервная система выполняет функции регуляции гомеостаза, обеспечения функционального взаимодействия органов и ...

Область D2* содержит некоторый круг w-w0<ρ, и, значит, φ1 не принимает в D значений из этого круга. Поэтому функция

f1z=ρw-w0 (7)

очевидно, голоморфная и однолистная в D, ограничена: для всех z∈D имеем f1z≤1.

  1. Обозначим через S семейство всех голоморфных и однолистных в области D функций, по модулю ограниченных 1. Это семейство непустое, ибо содержит функцию f1z, и по теореме Монтеля компактно. Часть S 1 семейства S, состоящая из всех функций f∈S, для которых

f’a≥f1’a>0 (8)

в некоторой фиксированной точке a∈D, компактна в себе. В самом деле, предел последовательности функции fn∈S1, сходящейся на любом K⊂D, может быть однолистной функцией (и тогда принадлежать к S1) либо постоянной, но последний случай исключен неравенством (8).

Рассмотрим на S1 функционал

f=f’a

По доказанному в предыдущем пункте он непрерывен, и, следовательно, существует функция f0∈S1, реализующая его максимум, т.е. такая, что

f’a≤f0’a (9)

для всех f∈S1.

  1. Так как функция f0∈S1, то она конформно отображает D в единичный круг U. Покажем, что f0a=0, — в противном случае в S1 нашлась бы функция

gz=f0z-f0a1-f0af0z

для которой

g’a=11-f0a2f0’a>f0’a

вопреки экстремальному свойству (9) функции f0.

Покажем, наконец, что f0 отображает D на весь круг U. В самом деле, пусть f0 не принимает в D некоторого значения b∈U; так как f0a=0, то b≠0. Но и значение b*=1b не принимается этой функцией в D (ибо b*>1), следовательно, по теореме о монодромии в D можно выделить однозначную ветвь корня

ψz=f0z-b1-f0z (10)

которая принадлежит S. Но тогда S принадлежит и функция

hz=ψz-ψa1-ψaψz

для которой

h’a=1+b2bf0’a.

Но 1+b>2b, ибо b<1, т.е. h∈S1 и h’a>f0’a, вопреки экстремальному свойству функции f0.

^

Пусть замкнутый контур Г есть гладкая или по крайней мере кусочно-гладкая линия; предположим, что функция w=fz ,будет гомоморфной всюду внутри Г, включая точки самого контура Г. Допустим, далее, что контур Г с помощью этой функции w=fz отображается взаимно однозначным образом на некоторый замкнутый контур Г’. Иначе говоря, различным точкам контура Г соответствуют различные же точки контура Г’. При этих условиях мы докажем, что

^ Г, отобразится взаимно однозначно на область, ограниченную контуром Г’.

Доказательство:

Обозначим через G область, ограниченную контуром Г. По контуру Г соответствует контур Г’, который будет делить плоскость w на две части: внутреннюю и внешнюю.

Мы покажем, что ни одна из точек, лежащих вне Г’, не может представлять значений, принимаемых fz внутри Г, с другой стороны, каждая точка, лежащая внутри Г’, представляет одно из значений, принимаемых fz внутри Г и притом только для одного значения z. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы показать, что уравнение fz-w0=0 для w0, лежащего вне Г’, не имеет ни одного корня внутри Г, а для w0, лежащего внутри Г’, имеет один и только один корень z внутри Г. По теореме о логарифмическом вычете искомое число корней уравнения fz-w0=0 равно интегралу

2 стр., 608 слов

Функции и роли вожатого

Способность вдохновить детей на высокие обязательства, забота о развитии и поддержке детей Вседозволенность, каждый занимается «своим делом», не думая об эффективности общей деятельности Развитию детей не придается значения, у детей нет перспектив личностного роста 2. Фасилитатор- Он должен воспитывать в коллективе стремление к согласию, улаживать межличностные конфликты. Ожидаемое поведение ...

12πiГГzfz-w0dz (11)

где интеграл берется по контору Г в положительном направлении. Полагая здесь fz=w, преобразуем этот интеграл к виду

12πiГ’dww-w0 (11′)

Последний равен нулю, если w0 лежит в Г’, и ±1 (в зависимости от направления интегрирования по Г’), если w0 лежит внутри Г’. Но значение -1 исключается по самому смыслу интеграла (11), равного (11′) (напомним, что fz голоморфна внутри Г).

Итак, интеграл (11) равен нулю, если w0 лежит вне Г, и равен +1, если w0 лежит внутри Г’.

Теорема доказана. Из доказательства следует, в частности, что когда точка z обходит контур Г в положительном направлении, то точка w=fz обходит контур Г’ также в положительном направлении. Иными словами, при соответствии,

устанавливаемом между контурами Г и Г’ посредством функции, голоморфной внутри Г, необходимо сохраняется направление обхода.

Доказанная теорема остается верной и для неограниченных областей, так как с помощью элементарных взаимно однозначных преобразований можно неограниченную область заменить ограниченной областью.

^

Вариант 18

Конформно отобразить область {|z-2|<3; |z|>1; Imz<0} на полуплоскость Imw>0

Нужно применить отображение “распрямляющее” прямые. Для этого следует использовать отображение, переводящее общую точку окружностей z=-1 в ∞. Рассмотрим отображение. При этом точкам z=1 и z=5 — точки u=12 и u=16 соответственно, т.е. отрезок [1,5] действительной оси Imz=0 переходит в отрезок [16,12] действительной оси Imw=0, а дуги окружности – в прямые.

В силу конформности отображения w1=1z+1 прямые углы участками границы области D={|z-2|<3; |z|>1; Imz<0} в точках z=1 и z=5 будут сохранены. Поэтому область D перейдёт в полуполосу {16<Rew1<12, Imw1>0}. Эту полуполосу при помощи линейной функции w2=3πw1-12 двигаем вдоль оси влево на расстояние 12 и увеличиваем её ширину в 3π раз. В результате получим полуполосу {–π<Rew1<0, Imw1>0}, образом которой при отображении w3=cosw2 является верхняя полуплоскость Imw>0.

Искомым отображением будет w=cosw2=cos3πw1-12=cos3πz+1-3π2=-sin3πz+1.

^

  1. А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, «Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах»: Учебное пособие. — М.: Высшая шк., 2001. — 445 с:

  2. А.И.Маркушевич, «Теория аналитических функций. Том II. Дальнейшее построение теории», М., 1968 г., 624 стр.

  3. Б. А. Фукс и Б. В. Шабат, «Функции комплексного переменного и некоторые их приложения», М., 1964 г., 388 стр.

    4 стр., 1861 слов

    Функции русского языка

    ... мыслью: коммуникация, общение с помощью языка – один из важнейших факторов, «сотворивших» человечество. 3. Когнитивная функция познавательную С помощью языка происходит в значительной степени познание, ... то же время взаимосвязаны между собой. Цель реферата – дать характеристику основным функциям русского языка. 1. Функции языка Термин «функция» в лингвистике употребляется в нескольких значениях: 1) ...