Контрольная работа: Проверка адекватности выбранных моделей

Контрольная работа

Проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу ( в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду).

Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

(1)

Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда (y t ) от выравненных, расчетных t ):

(2)

При использовании кривых роста ŷ t вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений e t от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассматриваемых в разделе 1, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики).

В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а, следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности.

Существует несколько приемов обнаружения авто корреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, Т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:

3 стр., 1474 слов

Оценка адекватности и точности моделей

... моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для ... показателей Томской области, а также вывод прогнозных значений по рассматриваемому региону на будущие периоды. ... модель не включены существенные факторы; неверно выбрана форма аналитической зависимости, которая нереально отражает соотношения между переменными, включенными в модель. ...

d = Контрольная работа: Проверка адекватности выбранных моделей 1 (3)

Можно показать, что величина d приближенно равна:

d≈ 2(1-r 1 )

где r 1 — коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами е1 , е2 , … ,еn-1 и е2 , е3 ,…,en ).

Из последней формулы видно, что если в значениях e t имеется сильная положительная авто корреляция ( r1 ≈1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r1 ≈-1) d=4. При отсутствии автокорреляции (r≈0) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1; 2,5; и 5% уровней значимости. Значения критерия Дарбина- Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице. В этой таблице d 1 и d2 – соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина- Уотсона; k1 – число переменных в модели; n- длина ряда.

Таблица.

Значение критерия Дарбина- Уотсона d 1 и d2 при 5% уровне значимости

n K 1 =1 K 1 =2 K 1 =2
d 1 d 2 d 1 d 2 d 1 d 2

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

1.08

1.1

1.13

1.16

1.18

1.2

1.22

1.24

1.26

1.27

1.29

1.3

1.32

1.33

1.34

1.35

1.36

1.37

1.38

1.49

1.4

1.41

1.36

1.37

1.38

1.39

1.4

1.41

1.42

1.43

1.44

1.45

1.45

1.46

1.47

1.48

1.48

1.49

1.5

1.5

1.51

1.51

1.52

1.52

0.95

0.98

1.02

1.05

1.08

1.1

1.13

1.15

1.17

1.19

1.21

1.22

1.24

1.26

1.27

1.28

1.3

1.31

1.32

1.33

1.34

1.35

1.54

1.54

1.54

1.53

1.53

1.54

1.54

1.54

1.54

1.55

1.55

1.55

1.56

1.56

1.56

1.57

1.57

1.57

1.58

1.58

1.58

1.59

0.82

0.86

0.9

093

0.97

1

1.03

1.05

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

1.18

1.2

1.21

1.23

1.24

1.26

1.27

1.28

1.29

1.75

1.73

1.71

1.69

1.68

1.68

1.67

1.66

1.66

1.66

1.66

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

1.65

Применение на практике критерия Дарбина- Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (3), с теоретическими значениями d 1 иd2 , взятыми из таблицы. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП «Олимп», «Мезозавр», «Statistica» и др.).

При сравнеии величины d с d 1 и d2 возможны следующие варианты:

1) Если d<d 1, то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;

2) Если d>d 2 , то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается;

3) Если d 1 ≤d≤d2 , то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область «неопределенности» .

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция.

Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в e t существует отрицательная автокорреляция.

Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d j и d2 сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

Для определения доверительных интервалов модели свойство

нормальности распределения остатков имеет важное значение. Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки.

А=Контрольная работа: Проверка адекватности выбранных моделей 2 (4)

Э=Контрольная работа: Проверка адекватности выбранных моделей 3 (5)

σ a =Контрольная работа: Проверка адекватности выбранных моделей 4(7)

где А- выборочная характеристика асимметрии;

  • Э- выборочная характеристика экцесса;

σ А — среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

σ Э — среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики экцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

  • |А|<1,5σ А ;
  • | Контрольная работа: Проверка адекватности выбранных моделей 5|<1,5σЭ (8)

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

|А|≥2σ А; |Э+Контрольная работа: Проверка адекватности выбранных моделей 6| ≥2σ (9)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

Классификация прогнозов. Требования, предъявляемые к временным рядам, их компонентный состав

1. Изменения курса акций промышленной компании в течение месяца представлены в таблице:

курс акции (Дол.)

tYttYttYttYt

1 509 6 515 11 517 16 510

2 507 7 520 12 524 17 516

3 508 8 519 13 526 18 518

4 509 9 512 14 519 19 524

5 518 10 511 15 514 20 521

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении курса акций двумя способами:

  • а) с помощью метода Фостера — Стюарта;
  • б) используя критерий серии, основанный на медиане выборки. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

2. Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении курса акций с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки.

3. Годовые данные об изменении урожайности зерновых культу; представлены в таблице. С помощью критерия «восходящих и нисходящих» серий проверить утверждение о том, что в изменении урожайности имеется тенденция.

Урожайность зерновых культур (ц/га)

t Y t t Y t t Y t t Y t
1 6,7 6 8,6 11 8,4 16 9,1
2 7,3 7 7,8 12 9,1 17 9,5
3 7,6 8 7,7 13 8,3 18 10,4
4 7,9 9 7,9 14 8,7 19 10,5
5 7,4 10 8,2 15 8,9 20 10,2
21 9,3

Доверительную вероятность принять равной 0,95.

Решение

1. Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта представлены в таблице 1.

1) Если уровень y t больше всех предшествующих уровней, то в графе mt ставим 1, если yt меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе lt ;

2) Определяем d t =mt -1t для t=2ч20;

3) D = Классификация прогнозов требования 1 =3;

4) Значение σ d для n=20 берем из таблицы 1.2.

σ d =2,279.

Значение t кp берем из таблицы t- распределения Стьюдента:

  • (а=О,05;
  • К=19)=2,093;

T H < Tkр нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии тренда.

С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует.

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 1.4.

Таблица 1

Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта

t Y t M t E t D t t Y t M t E t D t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

509

507

508

509

518

515

520

519

512

511

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

1

0

1

0

0

0

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

517

524

526

519

514

510

516

518

524

521

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 2

t Y t Y t t Y t Y t t Y t Y t

1

2

3

4

5

6

509

507

508

509

518

515

507

508

509

509

510

511

+

7

8

9

10

11

12

13

14

520

519

512

511

517

524

526

519

512

514

515

516

517

518

518

519

+

+

+

+

+

+

15

16

17

18

19

20

519

520

521

524

524

526

519

520

521

524

524

526

+

+

+

1) от исходного ряда y t переходим к ранжированному yt , расположив значения исходного ряда в порядке возрастания;

2) Т.к. n=20 (четное)

Медиана

М е = Классификация прогнозов требования 2=516,5;

3) Значение каждого уровня исходного ряда y t сравнивается со значением медианы. Если ytе , то δi принимает значение «+», если меньше, то «-»;

4) v (20)=8- число серий;

max (20)=4- протяженность самой большой серии.

В соответствии делаем проверку:

max (20)<[3,3(lg20+1)]

v(20)>[ (20+1-1.96Классификация прогнозов требования 3)]

4<7

8>6

Оба неравенства выполняются. С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера-Стюарта.

Таблица 3

t Y t t Y t t Y t

1

2

3

4

5

6

6,7

7,3

7,6

7,9

7,4

8,6

+

+

+

+

7

8

9

10

11

12

7,8

7,7

7,9

8,2

8,4

9,1

+

+

+

+

13

14

15

16

17

18

19

20

21

8,3

8,7

8,9

9,1

9,5

10,4

10,5

10,2

9,3

+

+

+

+

+

+

Вспомогательные вычисления в задании

В графе δ ставим «+», если последующее значение уровня временного ряда больше предыдущего, «-» — если меньше. Определим v (21)=8 – число серий.

max (21)=6 – протяженность самой большой серии. Табличное значение

0 (21)=5. В соответствии делаем проверку:

  • V(21)>[ Классификация прогнозов требования 4 ]

max (21)≤ 0 (21)

8>10

6≤5

Т.к. оба неравенства не выполняются, то делаем выводы: во временном ряду урожайности имеется тенденции.